Методы расчёта
Расчёт радиуса нулевой моды резонатора (TEM00, низшей, гауссовой моды) ведется известным методом лучевых матриц ABCD. Кратко сущность метода заключается в следующем. Каждому оптическому элементу резонатора и промежуткам свободного пространства в нём ставится в соответствие квадратная матрица 2х2. Примеры матриц приведены ниже в таблице.
Оптический элемент | Матрица |
Зеркало с радиусом кривизны R | ![]() |
Тонкая линза c фокусным расстоянием f | ![]() |
Промежуток среды с показателем преломления n и протяжённостью L | ![]() |
Общий вид матрицы ABCD | ![]() |
Матрица позволяет выразить параметры луча (положение луча относительно оптической оси и угол наклона луча к последней) на выходе оптического элемента через параметры луча на входе. Если надо найти выходной луч по входному для многоэлементной системы, то нужно перемножить матрицы элементов от выхода к входу оптической системы.
Радиус кривизны сферического пучка подчиняется закону ABCD:
(R1 и R2 – радиус кривизна входного и выходного пучка, соответ.).
Этому же закону подчиняется и так называемый комплексный параметр гауссова пучка, что позволяет рассчитывать параметры гауссова пучка матричным методом.
Радиус нулевой моды по уровню 1/e амплитуды напряженности электрического поля (т.е. по уровню 1/e2 максимальной интенсивности) в какой-либо опорной плоскости определяется через элементы матрицы ABCD, записанной для полного обхода резонатора относительно этой плоскости, формулой:
(λ - длина волны излучения).
Более детальную информацию по методу можно получить в литературе по лазерной технике.
При расчёте расходимости пучка в программе принимается, что выходное зеркало (если не плоское) имеет компенсирующую сферическую составляющую расходимости подложку, т.е. перетяжка пучка находится непосредственно за выходным зеркалом. При этом расходимость моды TEM00 (по уровню 1/e2 интенсивности) выражается формулой:
(ωвых – радиус моды TEM00 на выходном зеркале).
При расчёте пучка в целом (с высшими модами) полагается, что он занимает всю апертуру линзы (считаем, что линза наводится в активном элементе и ее диаметр равен диаметру области генерации в элементе), а апертура зеркал заведомо превышает размер поля на них. При этом в любом поперечном сечении пучка его размер равен размеру моды TEM00 в этом сечении, умноженному на коэффициент многомодовости. Коэфф. многомодовости вычисляется как отношение радиуса линзы к радиусу моды TEM00 в ней. Расходимость всего пучка считается равной расходимости моды TEM00, умноженной на коэфф. многомодовости.
Предполагается, что радиус всего пучка не меньше радиуса моды TEM00.
Фокусировка мощности определяется как обратный квадрат отношения радиуса поля в расчетном поперечном сечении резонатора к радиусу поля в линзе.
Апертурные потери в линзе для мод Эрмита-Гаусса рассчитываются для полного обхода резонатора. Пропускание линзы в каждом направлении вдоль оптической оси резонатора находится как доля энергии моды, локализованная внутри апертуры линзы, от полной энергии. Для первых шести мод (00…22) пропускание линзы определяется выражениями:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
(R – радиус линзы, ω – радиус нулевой моды в линзе).
Апертурные потери моды mn таким образом (в процентах):
Надо заметить, что метод расчёта высших мод весьма приближенный. Поэтому результаты расчёта высших мод следует считать лишь оценочными.
С ростом апертурных потерь возрастает роль апертурных эффектов и в этом случае надо использовать более точные дифракционные методы расчёта. Тем не менее, даже в этом случае расчёт апертурных потерь полезен, т.к. позволяет оценить "шансы на выживание" конкретных мод.
Также надо отметить, что в расчётах используется параксиальное приближение, поэтому результаты применимы только для параксиальных пучков, с не слишком большой расходимостью. Автору программы встречалась такая оценка: для максимальных углов лучей к оптической оси, не превышающих 100 мрад (примерно 60), погрешность вычислений в параксиальном приближении оказывается менее 1%.